Мальчик рост которого h=1.2м, бежит со скоростью v=4м/с в направлении фонаря, висящего на высоте h=5м.найти мгновенную скорость границы тени от головы мальчика на земле в тот момент времени, когда мальчик находился на расстоянии l=3м от основания фонаря. Ответ в метрах в секунду

Для того чтобы найти мгновенную скорость границы тени, нужно использовать принцип пропорциональности в задачах с подобием треугольников. Рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Построение модели: У нас есть мальчик, который бежит в направлении фонаря. Пусть высота фонаря — 5 метров, а рост мальчика — 1.2 метра. Когда мальчик находится на расстоянии 3 метра от основания фонаря, его тень на земле будет определяться геометрией треугольников.

2. Геометрия задачи: Мы можем построить два треугольника, которые будут подобны:

   • Первый треугольник: основание — расстояние от мальчика до фонаря, высота — высота фонаря (5 метров).
   • Второй треугольник: основание — длина тени мальчика, высота — рост мальчика (1.2 метра).

   Обозначим:

   • $x$ — расстояние от мальчика до фонаря (в момент времени это $l = 3$ м).
   • $y$ — длина тени от головы мальчика на земле.
   • $v$ — скорость мальчика (4 м/с).

3. Используем пропорцию: Поскольку треугольники подобны, можем записать пропорцию для соотношения сторон:

   $$\frac{5}{x + y} = \frac{1.2}{y}$$

   Где:

   • 5 — высота фонаря,
   • $x + y$ — расстояние от основания фонаря до конца тени,
   • 1.2 — рост мальчика,
   • $y$ — длина тени.

4. Решаем пропорцию: Перепишем пропорцию и выразим $y$:

   $$5y = 1.2(x + y)$$ $$5y = 1.2x + 1.2y$$ $$5y - 1.2y = 1.2x$$ $$3.8y = 1.2x$$ $$y = \frac{1.2x}{3.8}$$

   Подставляем $x = 3$ м:

   $$y = \frac{1.2 \times 3}{3.8} \approx 0.947 \text{ м}$$

5. Находим мгновенную скорость границы тени: Теперь, чтобы найти скорость границы тени, нужно взять производную от длины тени по времени. Для этого дифференцируем выражение $y = \frac{1.2x}{3.8}$ по времени:

   $$\frac{dy}{dt} = \frac{1.2}{3.8} \cdot \frac{dx}{dt}$$

   Где $\frac{dx}{dt} = v = 4$ м/с — скорость мальчика.

   Подставляем:

   $$\frac{dy}{dt} = \frac{1.2}{3.8} \cdot 4 \approx 1.26 \text{ м/с}$$

Итак, мгновенная скорость границы тени составляет примерно 1.26 м/с.