На карусели с моментом инерции I стоит человек массой m. С какой угловой скоростью ω будет вращаться карусель, если человек пойдет по окружности радиусом r со скоростью u относительно карусели? Моментом инерции тела человека относительно его вертикальной оси пренебречь.

Ответ: w (омега) =mrU/(I+mr^2)

Задача сводится к использованию закона сохранения углового момента. Рассмотрим систему, включающую карусель с моментом инерции $I$ и человека массой $m$, который движется по окружности радиусом $r$ со скоростью $u$ относительно карусели.

1. Определение углового момента: Для начала нужно понять, как угловой момент распределяется между каруселью и человеком.

   Угловой момент системы сохраняется, потому что внешние силы на неё не действуют. До того как человек начнёт двигаться, угловой момент системы равен нулю, так как карусель не вращается, а человек не движется (относительно карусели).

2. Угловой момент человека: Человек движется по окружности радиусом $r$, его линейная скорость $u$, и его угловая скорость относительно карусели $\omega$ связаны через формулу:

   $$u = r\omega.$$

   Угловой момент человека относительно вертикальной оси карусели определяется как:

   $$L_{\text{ч}} = m r^2 \omega.$$

   Здесь $m r^2$ — это момент инерции человека относительно оси вращения.

3. Угловой момент карусели: Угловой момент карусели определяется как:

   $$L_{\text{карусели}} = I \omega.$$

   Здесь $I$ — момент инерции карусели.

4. Сохранение углового момента: Суммарный угловой момент системы сохраняется, так как внешних моментов нет. Изначально угловой момент системы равен нулю, так как человек не двигается, а карусель тоже не вращается. После того как человек начнёт двигаться, угловой момент системы должен остаться равным нулю. То есть:

   $$m r^2 \omega + I \omega = 0.$$

   Это уравнение можно решить относительно $\omega$ (угловой скорости системы):

   $$\omega (m r^2 + I) = 0.$$

   Если $\omega \neq 0$, то мы получаем:

   $$\omega = \frac{m r u}{I + m r^2}.$$

   Это и есть искомая угловая скорость карусели.