Два одинаковых небольших шарика массой 0,1 г каждый, подвешены на нитях длиной 25 см. после того как шарикам предоставили одинакового заряда они разошлись на расстояние 5 см. какие заряды шариков ?

Для решения этой задачи можно использовать закон Кулона, который описывает взаимодействие между заряженными телами. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Исходные данные:

   • Масса каждого шарика: $m = 0.1 \, \text{г} = 0.1 \times 10^{-3} \, \text{кг}$.
   • Длина нити: $l = 25 \, \text{см} = 0.25 \, \text{м}$.
   • Расстояние между шариками после зарядки: $r = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м}$.

2. Сила тяжести: Каждому из шариков действует сила тяжести, которая равна:

   $$F_{\text{тяж}} = m \cdot g$$

   где $g$ — ускорение свободного падения (приблизительно $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$).

   Таким образом, сила тяжести для одного шарика:

   $$F_{\text{тяж}} = 0.1 \times 10^{-3} \, \text{кг} \times 9.8 \, \text{м/с}^2 = 9.8 \times 10^{-4} \, \text{Н}.$$

3. Силы, действующие на шарики:

   • На каждый шарик действуют две силы: сила тяжести $F_{\text{тяж}}$ вниз и электростатическое отталкивание между шариками, которое направлено вдоль линии, соединяющей их, и действует от каждого шарика на другой.
   • Силы натяжения нити в обеих нитях равны по величине и направлены вдоль нитей, они поддерживают шарики в равновесии.

4. Угол отклонения: Когда шарики отклоняются от вертикали, они образуют угол с нитями. Этот угол можно найти, если рассматривать систему сил. Однако для упрощения можно использовать представление о том, что угол отклонения достаточно мал, и для вычислений можем воспользоваться приближением, что напряжение нитей $T$ и сила тяжести $F_{\text{тяж}}$ балансируются при отклонении шариков.

5. Расстояние между шариками: Из геометрии треугольника, образованного нитями и горизонтальным расстоянием между шариками, можно вычислить, что расстояние между шариками связано с углом отклонения $\theta$ следующим образом:

   $$r = 2 \cdot l \cdot \sin(\theta).$$

   Для малых углов отклонения, $\sin(\theta) \approx \theta$, и тогда:

   $$\theta \approx \frac{r}{2l} = \frac{0.05}{2 \times 0.25} = 0.1.$$

   Таким образом, угол отклонения составляет примерно 0.1 радиана.

6. Электростатическая сила: Электростатическая сила между двумя заряженными объектами определяется законом Кулона:

   $$F_{\text{электр}} = \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r^2},$$

   где $k$ — электростатическая постоянная ($k \approx 9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{Кл}^2$), $q_1$ и $q_2$ — заряды шариков (в данном случае одинаковые, поэтому обозначим их как $q$), и $r$ — расстояние между ними.

   Подставим значения:

   $$F_{\text{электр}} = \frac{9 \times 10^9 \cdot q^2}{(0.05)^2}.$$

7. Баланс сил: Для равновесия шарика на нитях, сила натяжения нити $T$ должна компенсировать две силы: силу тяжести $F_{\text{тяж}}$ и горизонтальную компоненту электростатической силы $F_{\text{электр}}$. Мы можем выразить силу натяжения через вертикальную и горизонтальную компоненты:

   $$T \cdot \sin(\theta) = F_{\text{электр}}, \quad T \cdot \cos(\theta) = F_{\text{тяж}}.$$

   Из второго уравнения:

   $$T = \frac{F_{\text{тяж}}}{\cos(\theta)}.$$

   Подставим это в первое уравнение:

   $$\frac{F_{\text{тяж}}}{\cos(\theta)} \cdot \sin(\theta) = F_{\text{электр}}.$$

   Принимаем, что $\cos(\theta) \approx 1$ для малых углов, тогда получаем:

   $$F_{\text{тяж}} \cdot \tan(\theta) = F_{\text{электр}}.$$

   Подставляем значения:

   $$9.8 \times 10^{-4} \cdot 0.1 = \frac{9 \times 10^9 \cdot q^2}{(0.05)^2}.$$

   Упростим:

   $$9.8 \times 10^{-5} = \frac{9 \times 10^9 \cdot q^2}{0.0025}.$$