Школьница Алиса проводит опыты с подвешенной к потолку пружиной, кубиком, большим числом одинаковых шариков и гирями. Алиса обнаружила, что подвешенный к пружине кубик растягивает её сильнее, чем шарик и гиря массой 300 г, но слабее, чем шарик и гиря массой 500 г. Также Алиса обнаружила, что подвешенный к пружине кубик растягивает пружину сильнее, чем три шарика, но слабее, чем четыре шарика. Какой может быть масса шарика? А масса кубика? Известно, что величина растяжения пружины прямо
пропорциональна массе подвешенного к ней груза.

С подробным решением, пожалуйста, готовлюсь к Олимпиаде) Буду очень благодарна. Спасибо)

Для решения этой задачи нужно учесть, что сила, с которой груз растягивает пружину, прямо пропорциональна массе этого груза. Это значит, что если два груза растягивают пружину одинаково, то их массы равны, а если один груз растягивает пружину сильнее, то его масса больше.

Дано:

1. Кубик растягивает пружину сильнее, чем один шарик и гиря массой 300 г.
2. Кубик растягивает пружину слабее, чем один шарик и гиря массой 500 г.
3. Кубик растягивает пружину сильнее, чем три шарика.
4. Кубик растягивает пружину слабее, чем четыре шарика.

Также известно, что величина растяжения пружины прямо пропорциональна массе груза.

Обозначим массу шарика через $m$ (в граммах), а массу кубика через $M$ (в граммах).

Шаг 1: Построение неравенств

На основании условия задачи составим неравенства.

Неравенства для кубика и гирь

1. Поскольку кубик растягивает пружину сильнее, чем гиря в 300 г и шарик, можем записать:

   $$M > 300 + m$$

2. Поскольку кубик растягивает пружину слабее, чем гиря в 500 г и шарик, запишем:

   $$M < 500 + m$$

Неравенства для кубика и шариков

3. Кубик растягивает пружину сильнее, чем три шарика, то есть:

   $$M > 3m$$

4. Кубик растягивает пружину слабее, чем четыре шарика, то есть:

   $$M < 4m$$

Шаг 2: Совмещение всех неравенств

Теперь у нас есть четыре неравенства:

1. $M > 300 + m$
2. $M < 500 + m$
3. $M > 3m$
4. $M < 4m$

Попробуем выразить массу кубика $M$ и массу шарика $m$, решая эти неравенства совместно.

Шаг 3: Преобразование неравенств

1. Из первого неравенства $M > 300 + m$, выразим $m$:

   $$M - m > 300 \Rightarrow m < M - 300$$

2. Из второго неравенства $M < 500 + m$, выразим $m$:

   $$M - m < 500 \Rightarrow m > M - 500$$

Таким образом, получаем ограничение для массы шарика $m$:

3. Теперь обратимся к третьему и четвертому неравенствам:

   • $M > 3m$
   • $M < 4m$

Эти неравенства можно переписать как:

• $\frac{M}{3} < m$
• $m < \frac{M}{4}$

Шаг 4: Решение системы неравенств

Теперь у нас есть система ограничений:

1. $M - 500 < m < M - 300$
2. $\frac{M}{3} < m < \frac{M}{4}$

Рассмотрим примерные значения, которые удовлетворяют этим условиям, чтобы получить диапазоны для $M$ и $m$.

Подбор решения

1. Предположим, что $M = 400$ г.

   Тогда, подставив в ограничения:

   • $400 - 500 < m < 400 - 300$ или $-100 < m < 100$, что не подходит, так как масса должна быть положительной.

2. Попробуем $M = 450$ г.

   • $450 - 500 < m < 450 - 300 \Rightarrow -50 < m < 150$.

   Эти значения также не приводят к решению.

Окончательный ответ