Материальная точка равномерно движется по окружности. Найдите отношение пути к модулю перемещения за половину периода. Решите всё подробно, пожалуйста.

Задача состоит в том, чтобы найти отношение пути к модулю перемещения материальной точки, которая равномерно движется по окружности, за половину периода. Давайте разберёмся пошагово.

Шаг 1. Определение параметров задачи

Материальная точка движется по окружности с постоянной скоростью. Это означает, что она проходит одинаковые расстояния за одинаковые промежутки времени. Пусть радиус окружности равен $R$, а угловая скорость — $\omega$. Полный период $T$ движения точки по окружности будет связан с угловой скоростью через формулу:

Половина периода будет равна $\frac{T}{2} = \frac{\pi}{\omega}$.

Шаг 2. Путь за половину периода

Путь — это длина дуги, которую пройдёт точка за время $\frac{T}{2}$. Поскольку угловая скорость $\omega$ постоянна, точка за половину периода совершит поворот на угол $\pi$ (полкруга).

Длина дуги $s$ для угла $\phi$ на окружности радиуса $R$ вычисляется по формуле:

Так как угол, пройденный точкой за половину периода, равен $\pi$, путь будет:

Шаг 3. Модуль перемещения

Перемещение — это векторное расстояние от начальной точки до конечной точки. Так как точка равномерно движется по окружности, то начальная и конечная точки находятся на противоположных концах диаметра окружности. Таким образом, модуль перемещения будет равен диаметру окружности, то есть:

Шаг 4. Отношение пути к модулю перемещения

Теперь, когда у нас есть путь и модуль перемещения, можно найти искомое отношение:

Ответ:

Отношение пути к модулю перемещения за половину периода равно $\frac{\pi}{2}$.