.Разложить на множители квадратный трехчлен: 3у2 – 4у + 1.

Разложение квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители обычно выполняется с использованием формулы квадратного корня, теоремы Виета или метода "группировки", в зависимости от коэффициентов и их свойств. Для трехчлена $3y^2 - 4y + 1$, давайте попробуем найти корни уравнения, чтобы использовать их для разложения на множители.

Чтобы найти корни квадратного уравнения, используется формула: $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты трехчлена, в данном случае $a = 3$, $b = -4$, $c = 1$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения корней: $y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$ $y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}$ $y = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6}$ $y = \frac{4 \pm 2}{6}$

Из этого следует, что у нас есть два корня: $y_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1$ $y_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь, зная корни, мы можем разложить исходный трехчлен на множители как произведение двух биномов, в которых корни выступают с противоположными знаками (поскольку переносим их из равенства в уравнение): $3y^2 - 4y + 1 = 3(y - 1)(y - \frac{1}{3})$

Однако этот метод может не дать целых коэффициентов в множителях, что часто желательно в математических задачах. В таком случае, можно попробовать умножить весь трехчлен на такой коэффициент, чтобы коэффициенты в скобках стали целыми. В нашем случае, умножим вторую скобку на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3y^2 - 4y + 1 = (y - 1)(3y - 1)$

Таким образом, $3y^2 - 4y + 1$ разложен на множители как $(y - 1)(3y - 1)$.