Разложите на множители многочлен х^4+3х^3-5х^2-6х-8

Разложение многочлена $x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 6x - 8$ на множители начинается с поиска корней многочлена. Корень многочлена - это значение $x$, при котором многочлен равен нулю.

Сначала попробуем найти рациональные корни многочлена. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами, если они существуют, должны быть делителями свободного члена (в данном случае -8). Делители числа -8 это ±1, ±2, ±4, ±8.

Мы можем последовательно подставлять эти значения в многочлен и проверять, обращает ли какое-либо из них многочлен в ноль. Если какое-то значение обращает многочлен в ноль, это значение является корнем многочлена. После нахождения одного корня мы можем использовать синтетическое деление или деление столбиком, чтобы упростить многочлен, и затем повторить процесс для оставшегося трехчлена или биквадратного многочлена.

Давайте попробуем найти корни многочлена $x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 6x - 8$ и разложить его на множители.

Мы нашли корни многочлена: $-4$, $2$, и два комплексных корня $-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Это означает, что многочлен может быть разложен на множители следующим образом:

$x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 6x - 8 = (x + 4)(x - 2)(x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)(x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)$

Теперь мы можем дополнительно упростить разложение, используя тот факт, что произведение пары комплексно-сопряженных чисел является действительным числом. Произведение двух последних множителей:

$(x + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)(x + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = x^2 + x + 1$

Таким образом, окончательное разложение на множители многочлена выглядит следующим образом:

$x^4 + 3x^3 - 5x^2 - 6x - 8 = (x + 4)(x - 2)(x^2 + x + 1)$ ​​