в равнобедренной трапеции основания равны 5 и 11,а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45 градусов.Найдте площадь трапеции

Для решения задачи о нахождении площади равнобедренной трапеции с основаниями 5 и 11 и углом между боковой стороной и основанием, равным 45 градусам, давайте поэтапно разберемся с процессом.

1. Исходные данные:

• Основания трапеции: $a = 5$ и $b = 11$.
• Один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°.
• Нам нужно найти площадь трапеции.

2. Построение модели

Рассмотрим трапецию, где нижнее основание $b = 11$, верхнее основание $a = 5$, и боковые стороны равны. Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны одинаковой длины и углы при обоих основаниях (нижнем и верхнем) равны.

Обозначим боковые стороны трапеции за $c$ и рассмотрим угол при основании $\alpha = 45^\circ$.

3. Разбиение трапеции

Если провести высоту $h$ из вершины трапеции на нижнее основание, то она разобьет трапецию на два прямоугольных треугольника по бокам и прямоугольник посередине (с длиной основания $a = 5$).

Тогда нижнее основание $b = 11$ можно разложить на три части:

• Средняя часть равна $a = 5$,
• Две боковые части, каждая по длине равна $x$, образуются от проекций боковых сторон на основание.

4. Вычисление $x$

Из геометрии прямоугольного треугольника с углом 45° можно найти длину проекции боковой стороны на основание. В таком треугольнике катеты равны, следовательно, $x = h$.

5. Высота $h$

Для нахождения высоты $h$ используем тригонометрическую функцию. В прямоугольном треугольнике высота $h$ и проекция боковой стороны $x$ связаны с углом 45° через тангенс:

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то получаем $h = x$.

Сумма проекций двух боковых сторон $2x$ и среднего основания 5 даёт нижнее основание 11:

Отсюда находим:

Значит, высота трапеции $h = 3$.

6. Площадь трапеции

Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

Подставляем известные значения:

Ответ:

Площадь трапеции равна 24 квадратным единицам.