Функция вида y=√(4−x2) является ограниченой или нет?

Функция $y = \sqrt{4 - x^2}$ является ограниченной. Чтобы понять это, давайте внимательно рассмотрим область определения и поведение функции на ней.

1. Определение функции: Поскольку подкоренное выражение $4 - x^2$ должно быть больше или равно нулю (иначе под корнем возникнет отрицательное число, что для вещественных чисел недопустимо), у нас возникает ограничение:

   $$4 - x^2 \geq 0.$$

   Решая это неравенство, мы получаем:

   $$x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2.$$

   Следовательно, область определения функции — это отрезок $x \in [-2, 2]$.

2. Поведение функции на области определения: Теперь, подставляя значения из области определения, можно проанализировать значения функции:

   • При $x = 0$ имеем $y = \sqrt{4 - 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
   • При $x = 2$ или $x = -2$ имеем $y = \sqrt{4 - 2^2} = \sqrt{4 - 4} = 0$.

3. Максимальное и минимальное значения:

   • Поскольку $y = \sqrt{4 - x^2}$ — это корень квадратный, все значения $y$ будут неотрицательными.
   • Минимальное значение функции достигается на концах отрезка $x = -2$ и $x = 2$, где $y = 0$.
   • Максимальное значение функции достигается в центре области определения при $x = 0$, где $y = 2$.

4. Ограниченность функции: Из вышеизложенного следует, что функция $y = \sqrt{4 - x^2}$ принимает значения только в диапазоне от 0 до 2 включительно. Это значит, что функция ограничена сверху числом 2 и снизу числом 0.

Таким образом, функция $y = \sqrt{4 - x^2}$ является ограниченной на своей области определения $x \in [-2, 2]$, и её значения находятся в интервале $y \in [0, 2]$.