Как решать уравнение с модулями: |x - 1| + |x + 3| = 4?

Решаем методом интервалов. Найдём точки, где выражения под модулями меняют знак: \(x-1=0 \Rightarrow x=1\), \(x+3=0 \Rightarrow x=-3\). Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.

1) \(x < -3\): оба выражения отрицательны, поэтому \(|x-1| = -(x-1) = -x+1\), \(|x+3| = -(x+3) = -x-3\). Уравнение: \(-x+1 - x-3 = 4 \Rightarrow -2x -2 = 4 \Rightarrow -2x = 6 \Rightarrow x = -3\). Но \(x=-3\) не входит в промежуток \(x < -3\), поэтому корней нет.

2) \(-3 \le x \le 1\): \(x-1 \le 0\), поэтому \(|x-1| = -x+1\); \(x+3 \ge 0\), поэтому \(|x+3| = x+3\). Уравнение: \(-x+1 + x+3 = 4 \Rightarrow 4 = 4\) — верно при всех \(x\) из промежутка. Значит, любое \(x \in [-3; 1]\) является решением.

3) \(x > 1\): оба выражения положительны, \(|x-1| = x-1\), \(|x+3| = x+3\). Уравнение: \(x-1 + x+3 = 4 \Rightarrow 2x + 2 = 4 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\). Но \(x=1\) не входит в \(x > 1\), корней нет.

Ответ: \(x \in [-3; 1]\).

0 0 Пожаловаться