Доказать методом математической индукции, что для любого натурального n верно равенство
1*2*3 + 2*3*4 + ... + n(n+1)(n+2) = 1/4 * n(n+1)(n+2)(n+3)

Обозначим сумму:

\[ S_n=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\ldots+n(n+1)(n+2) \]

Нужно доказать, что

\[ S_n=\frac14 n(n+1)(n+2)(n+3) \]

1. База индукции. При \( n=1 \):

\[ S_1=1\cdot2\cdot3=6 \]

Правая часть:

\[ \frac14\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4=6 \]

Равенство верно.

2. Индукционное предположение. Пусть для \( n=k \) верно:

\[ S_k=\frac14 k(k+1)(k+2)(k+3) \]

3. Индукционный переход. Докажем для \( n=k+1 \):

\[ S_{k+1}=S_k+(k+1)(k+2)(k+3) \]

Подставим предположение:

\[ S_{k+1}=\frac14 k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3) \]

Вынесем общий множитель:

\[ S_{k+1}=(k+1)(k+2)(k+3)\left(\frac{k}{4}+1\right) \]

\[ S_{k+1}=(k+1)(k+2)(k+3)\cdot\frac{k+4}{4} \]

\[ S_{k+1}=\frac14 (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) \]

Это как раз формула для \( n=k+1 \). Значит, по методу математической индукции равенство верно для любого натурального \( n \).

0 0 Пожаловаться