Помогите решить универсальной подстановкой
sin4x+5cos4x=-5

Уравнение: \(\sin 4x + 5\cos 4x = -5\).

Универсальная подстановка для угла \(4x\): \(t = \tan 2x\). Тогда:

\(\sin 4x = \frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos 4x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\).

Подставляем: \(\frac{2t}{1+t^2} + 5\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2} = -5\).

Умножаем на \(1+t^2\): \(2t + 5(1-t^2) = -5(1+t^2)\).

Раскрываем скобки: \(2t + 5 - 5t^2 = -5 - 5t^2\).

Сокращаем \(-5t^2\): \(2t + 5 = -5\), откуда \(2t = -10\), \(t = -5\).

Возвращаемся к \(x\): \(\tan 2x = -5\).

Решение: \(2x = -\arctan 5 + \pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Значит, \(x = -\frac{1}{2}\arctan 5 + \frac{\pi k}{2}\).

Ответ: \(x = \frac{\pi k}{2} - \frac{1}{2}\arctan 5\), \(k \in \mathbb{Z}\).

0 0 Пожаловаться