Сos2x+cos4x+cos(pi-3x)=0

2)sin5x+sin2x+sin3x+sin4x=0

3)cos5x+cos2x+cos3x+cos4x=0

4)cos((pi/2)-x)-six3x+sin5x=0

Решим данные уравнения по порядку.

1. $\cos 2x + \cos 4x + \cos(\pi - 3x) = 0$:

Преобразуем с использованием тригонометрических формул:

1. $\cos(\pi - 3x) = -\cos 3x$ (так как $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$). Уравнение становится:

   $$\cos 2x + \cos 4x - \cos 3x = 0$$

2. Используем формулу суммы косинусов:

   $$\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$$

   Применим её для $\cos 2x + \cos 4x$:

   $$\cos 2x + \cos 4x = 2\cos\left(\frac{2x + 4x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x - 4x}{2}\right) = 2\cos 3x \cos(-x)$$

   Так как $\cos(-x) = \cos x$, это упрощается до:

   $$2\cos 3x \cos x - \cos 3x = 0$$

3. Вынесем $\cos 3x$ за скобки:

   $$\cos 3x (2\cos x - 1) = 0$$

Решаем уравнение:

1. $\cos 3x = 0$:

   $$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}n, \, n \in \mathbb{Z}$$

2. $2\cos x - 1 = 0$:

   $$\cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$$

Объединяем решения.

2. $\sin 5x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$:

Группируем с использованием формулы суммы синусов:

1. Группируем $\sin 5x + \sin 4x$ и $\sin 2x + \sin 3x$:

   $$\sin 5x + \sin 4x = 2\sin\left(\frac{5x + 4x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x - 4x}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$ $$\sin 2x + \sin 3x = 2\sin\left(\frac{2x + 3x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x - 3x}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(-\frac{x}{2}\right)$$

   Поскольку $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, это упрощается до:

   $$2\sin\left(\frac{9x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$$

2. Вынесем $2\cos\left(\frac{x}{2}\right)$