На парковке возле супермаркета стояло больше 10, но меньше 50 машин. Если машины поставить по 5 штук в ряд, то один ряд останется неполным. Если эти машины переставить по 7 штук в ряд, то в неполном ряду машин будет на 5 больше, чем при расстановке по 5 штук в ряд. Сколько машин на парковке? Решение и ответ.

Давайте обозначим количество машин на парковке как $N$. Нам известно, что:

1. Количество машин $N$ больше 10, но меньше 50, то есть $10 < N < 50$.
2. Если машины поставить по 5 штук в ряд, то один ряд останется неполным. Это значит, что при делении $N$ на 5 остаётся остаток, и можно записать это условие как: $N \equiv r \ (\text{mod} \ 5)$, где $r \neq 0$.
3. Если машины расставить по 7 штук в ряд, то в неполном ряду будет на 5 машин больше, чем при расстановке по 5 штук в ряд. Это означает, что остаток при делении $N$ на 7 равен $r + 5$, если при делении на 5 остался остаток $r$.

Теперь пошагово разберёмся, как найти $N$.

Шаг 1: Условие на делимость по 5

Так как $N$ при делении на 5 даёт остаток, то запишем $N = 5k + r$, где $k$ — это целое число, а $r$ — остаток, причём $1 \leq r \leq 4$ (поскольку остаток не может быть равен 0, иначе ряд был бы полным).

Шаг 2: Условие на делимость по 7

Теперь учитываем второе условие: при делении $N$ на 7 остаток на 5 больше, чем при делении на 5. То есть если остаток при делении на 5 равен $r$, то остаток при делении на 7 должен быть равен $r + 5$.

Так как остаток при делении на 7 не может превышать 6, значит, $r + 5 \leq 6$, из чего следует, что $r \leq 1$. Это ограничивает значение $r$ возможными остатками 1 или 2.

Шаг 3: Подстановка значений

Теперь попробуем подставить возможные значения для $N$ в диапазоне от 11 до 49, проверяя условия.

1. При $r = 2$:

   • Остаток при делении на 5 равен 2.
   • Остаток при делении на 7 должен быть $r + 5 = 2 + 5 = 7$, но так как остаток при делении на 7 не может быть равен 7, $r = 2$ не подходит.

2. При $r = 1$:

   • Остаток при делении на 5 равен 1.
   • Тогда остаток при делении на 7 должен быть $r + 5 = 1 + 5 = 6$.

Теперь подбираем значения $N$, которые дают остаток 1 при делении на 5 и остаток 6 при делении на 7 в пределах от 11 до 49.

Шаг 4: Проверка значений

Если перебрать возможные значения, то:

• $N = 31$ удовлетворяет условиям:
  • $31 \div 5 = 6$ ряда по 5 машин и остаток 1.
  • $31 \div 7 = 4$ ряда по 7 машин и остаток 6.

Таким образом, $N = 31$ — это единственное значение, которое соответствует всем условиям задачи.

Ответ:

На парковке стоит 31 машина.