Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 60. Определи, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшем.

Ответ:
Разность прогрессии: d=?

В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):
1. a1= ? - ? d

2. f(d)= ? + ? d+ ? d^2

Решение:

Пусть первый член арифметической прогрессии равен $a_1$, а разность прогрессии равна $d$.

Дано:

1. Сумма утроенного второго ($3a_2$) и четвёртого ($3a_4$) членов прогрессии равна 60: $$3a_2 + 3a_4 = 60.$$
2. Нужно найти значение $d$, при котором произведение третьего ($a_3$) и пятого ($a_5$) членов прогрессии будет минимальным.

1. Запишем формулы для членов прогрессии:

• Второй член: $a_2 = a_1 + d$,
• Четвёртый член: $a_4 = a_1 + 3d$,
• Третий член: $a_3 = a_1 + 2d$,
• Пятый член: $a_5 = a_1 + 4d$.

Подставим $a_2$ и $a_4$ в уравнение:

Раскроем скобки:

Соберём подобные:

Разделим на 6:

2. Найдём произведение $a_3 \cdot a_5$:

Раскроем скобки:

Соберём подобные:

3. Выразим $a_1$ через $d$:

Из уравнения (1):

Подставим (3) в (2):

Раскроем $(10 - 2d)^2$:

Подставим это в выражение:

Соберём подобные: