1)Знайдіть загальний вигляд первісних для функції f(х) = 10х^4 + 3sinх 2)Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю V(t) = 3t3 + t (м/с). Знайдіть шлях (м), пройдений тілом за проміжок часу від 1с до 2с.

1. Загальний вигляд первісних для функції $f(x) = 10x^4 + 3\sin x$:

Щоб знайти загальний вигляд первісної, потрібно знайти інтеграл від функції $f(x) = 10x^4 + 3\sin x$.

Розв’язок:

Тепер інтегруємо кожен доданок окремо:

1. Інтеграл від $10x^4$:

   $$\int 10x^4 \, dx = 10 \cdot \frac{x^5}{5} = 2x^5$$

2. Інтеграл від $3\sin x$:

   $$\int 3\sin x \, dx = -3\cos x$$

Тоді загальний вигляд первісної буде:

де $C$ — довільна стала, яка додається при інтегруванні.

Отже, загальний вигляд первісних для функції $f(x) = 10x^4 + 3\sin x$ є:

2. Знайдіть шлях, пройдений тілом за проміжок часу від 1 с до 2 с, якщо швидкість $V(t) = 3t^3 + t$ (м/с).

Щоб знайти шлях, пройдений тілом, потрібно знайти інтеграл від швидкості $V(t)$ на проміжку від 1 до 2 секунд. Це дозволить обчислити повний шлях, оскільки інтеграл швидкості дає переміщення.

Розв’язок:

Інтегруємо кожен доданок окремо:

1. Інтеграл від $3t^3$:

   $$\int 3t^3 \, dt = 3 \cdot \frac{t^4}{4} = \frac{3t^4}{4}$$

2. Інтеграл від $t$:

   $$\int t \, dt = \frac{t^2}{2}$$

Отже, маємо:

Тепер підставимо межі інтегрування:

1. Верхня межа (при $t = 2$):

   $$\frac{3 \cdot 2^4}{4} + \frac{2^2}{2} = \frac{3 \cdot 16}{4} + \frac{4}{2} = 12 + 2 = 14$$

2. Нижня межа (при $t = 1$):

   $$\frac{3 \cdot 1^4}{4} + \frac{1^2}{2} = \frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3 + 2}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$$

Тепер знайдемо різницю:

Отже, шлях, пройдений тілом за проміжок часу від 1 с до 2 с, становить $12.75$ метрів.