Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел a и b, больших 1, удовлетворяющих уравнению a^13*b^31=6^2015

Чтобы найти пару натуральных чисел $a$ и $b$, больших 1, которая удовлетворяет уравнению $a^{13} \cdot b^{31} = 6^{2015}$, начнём с разложения числа $6^{2015}$ на простые множители.

1. Разложим $6^{2015}$ на множители:

   Число 6 представимо как произведение простых чисел $6 = 2 \cdot 3$. Поэтому:

   $$6^{2015} = (2 \cdot 3)^{2015} = 2^{2015} \cdot 3^{2015}$$

   Таким образом, выражение $6^{2015}$ в разложении на простые множители имеет вид $2^{2015} \cdot 3^{2015}$.

2. Запишем исходное уравнение:

   Уравнение $a^{13} \cdot b^{31} = 2^{2015} \cdot 3^{2015}$ показывает, что произведение степеней чисел $a$ и $b$ должно быть равно $2^{2015} \cdot 3^{2015}$. Поэтому нужно подобрать такие $a$ и $b$, чтобы их разложения на простые множители в сумме дали степени 2 и 3, равные 2015.

3. Предположим, что $a = 2^x \cdot 3^y$ и $b = 2^z \cdot 3^w$:

   Нам нужно, чтобы выполнялись два условия:

   $$13x + 31z = 2015$$

   и

   $$13y + 31w = 2015$$

   Это система диофантовых уравнений, и её можно решить подбором небольших значений для $x$, $y$, $z$, и $w$, проверяя, чтобы $a$ и $b$ были больше 1.

4. Решение системы:

   После некоторого подбора можно найти, что при $x = 155$, $z = 0$, $y = 0$, и $w = 65$ условия будут выполнены:

   • Подставляем в первое уравнение: $13 \cdot 155 + 31 \cdot 0 = 2015$
   • Подставляем во второе уравнение: $13 \cdot 0 + 31 \cdot 65 = 2015$

   Значит, решение будет следующим:

   $$a = 2^{155} \quad \text{и} \quad b = 3^{65}$$

5. Ответ:

   Пара чисел $(a, b) = (2^{155}, 3^{65})$ удовлетворяет уравнению $a^{13} \cdot b^{31} = 6^{2015}$, и оба числа $a$ и $b$ больше 1.