1. Сколькими способами 5 различных подарочных наборов можно разместить в пяти имеющихся коробках (по одному подарку в коробке)?
2. Сколько различных четырёхзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 6 можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 7?
3. У Маши есть 6 различных маек и 4 наклейки. Сколькими способами можно поместить эти наклейки на четырёх майках из имеющихся шести (по одной на каждую) ?

Рассмотрим задачи одну за другой.

Задача 1

Сколькими способами 5 различных подарочных наборов можно разместить в пяти имеющихся коробках (по одному подарку в коробке)?

Здесь у нас 5 подарков и 5 коробок, и нам нужно разместить каждый подарок в отдельной коробке, причём порядок размещения имеет значение. Это классическая задача на размещение $n$ различных объектов в $n$ местах, где для каждого объекта есть своё уникальное место. Такое количество размещений соответствует числу перестановок.

Количество перестановок $n$ различных элементов можно вычислить как $n!$.

Для 5 подарков это будет:

Ответ: 120 способов.

Задача 2

Сколько различных четырёхзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 6, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 7?

Четырёхзначное число, кратное 6, должно удовлетворять следующим условиям:

1. Оно должно быть чётным (последняя цифра должна быть чётной).
2. Сумма цифр должна быть кратна 3.

Шаг 1: Выбираем последнюю цифру

Чётные цифры среди данных — это 2 и 4. Значит, последний разряд может быть либо 2, либо 4.

Шаг 2: Проверка сумм, кратных 3

Теперь проверим, какие комбинации оставшихся цифр могут дать нам сумму, кратную 3, когда мы используем в качестве последней цифры 2 или 4.

Вариант 1: Последняя цифра — 2

Оставшиеся цифры: 1, 3, 4, и 7. Из этих цифр нам нужно выбрать три, чтобы сумма четырёх цифр (включая 2) была кратна 3.

Сумма всех цифр 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Если добавим 2, получится 17, что не делится на 3. Таким образом, число, заканчивающееся на 2, не будет кратно 3.

Вариант 2: Последняя цифра — 4

Оставшиеся цифры: 1, 2, 3, и 7. Опять выбираем три цифры так, чтобы сумма четырёх цифр (включая 4) была кратна 3.

Сумма всех цифр 1 + 2 + 3 + 7 = 13. Если добавим 4, получится 17, что тоже не делится на 3. Таким образом, и в этом случае нет подходящих комбинаций.

Ответ: Нет четырёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 и 7, которые были бы кратны 6 и не содержали одинаковых цифр.

Задача 3

У Маши есть 6 различных маек и 4 наклейки. Сколькими способами можно поместить эти наклейки на четырёх майках из имеющихся шести (по одной на каждую)?

Здесь нам нужно выбрать 4 майки из 6 и расположить на них 4 различные наклейки, при этом на каждой выбранной майке будет по одной наклейке.

Шаг 1: Выбираем 4 майки из 6

Количество способов выбрать 4 майки из 6 можно найти по формуле сочетаний:

Шаг 2: Размещаем наклейки на выбранных майках

Теперь на 4 выбранных майках нужно разместить 4 наклейки, причём порядок наклеек на майках имеет значение. Количество таких размещений — это перестановки 4 элементов:

Итоговое количество способов

Теперь перемножим количество способов выбора маек и размещения наклеек:

Ответ: 360 способов.