Помогите,пожалуйста,срочно надо))
1) Вычислить: интеграл от 0 до 1 (x-6/√6x+3)dx

2) Укажите первообразную для функции f(x)=4cos4x+1/2sinx/2
график которой проходит через точку А(π/2;√2/2)

3)Вычислить: интеграл от π/6 до π/3 dx/sin^2x

Это 7,8 и 9 задание

1) Если первая запись понимается как \(\int_0^1 \left(x-\frac{6}{\sqrt{6x+3}}\right)dx\), то:

\[\int_0^1 xdx=\frac{1}{2}\]

\[\int_0^1 \frac{6}{\sqrt{6x+3}}dx=2\sqrt{6x+3}\Big|_0^1=6-2\sqrt3\]

Значит, ответ:

\[\frac{1}{2}-(6-2\sqrt3)=2\sqrt3-\frac{11}{2}\]

2) Для функции \(f(x)=4\cos4x+\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}\):

\[F(x)=\sin4x-\cos\frac{x}{2}+C\]

График проходит через точку \(A\left(\frac{\pi}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\), значит:

\[F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0-\frac{\sqrt2}{2}+C=\frac{\sqrt2}{2}\]

\[C=\sqrt2\]

Ответ:

\[F(x)=\sin4x-\cos\frac{x}{2}+\sqrt2\]

3)

\[\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{dx}{\sin^2x}=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\csc^2x\,dx=-\operatorname{ctg}x\Big|_{\pi/6}^{\pi/3}\]

\[-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3}+\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt3}+\sqrt3=\frac{2\sqrt3}{3}\]

Ответ: \(\frac{2\sqrt3}{3}\).

0 0 Пожаловаться