Решите уравнение: sin3x-sinx+cos3x-cosx=0
С подробным решением, пожалуйста!

Решим уравнение:

\[\sin 3x-\sin x+\cos 3x-\cos x=0\]

Сгруппируем разности:

\[\left(\sin 3x-\sin x\right)+\left(\cos 3x-\cos x\right)=0\]

Используем формулы:

\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\]

\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\]

Тогда:

\[\sin 3x-\sin x=2\cos 2x\sin x\]

\[\cos 3x-\cos x=-2\sin 2x\sin x\]

Подставим:

\[2\cos 2x\sin x-2\sin 2x\sin x=0\]

Вынесем общий множитель:

\[2\sin x\left(\cos 2x-\sin 2x\right)=0\]

Произведение равно нулю, значит:

\[\sin x=0\]

или

\[\cos 2x-\sin 2x=0\]

Из первого уравнения:

\[x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z\]

Из второго:

\[\cos 2x=\sin 2x\]

\[\tan 2x=1\]

\[2x=\frac{\pi}{4}+\pi n\]

\[x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z\]

Ответ:

\[x=\pi n\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z\]

0 0 Пожаловаться