Периметр прямоугольника равен 102 а его диагональ равна 39 найди длину и ширину прямоугольника

Задача заключается в нахождении длины и ширины прямоугольника, если его периметр и диагональ известны. Давайте решим ее шаг за шагом.

1. Запишем формулы для периметра и диагонали прямоугольника:

   Периметр прямоугольника равен 102, и его диагональ равна 39. Пусть длина прямоугольника — это $l$, а ширина — $w$.

   • Формула для периметра прямоугольника:

     $$P = 2(l + w)$$

     Подставляем известное значение периметра:

     $$102 = 2(l + w)$$

     Разделим обе стороны на 2:

     $$l + w = 51$$

   • Формула для диагонали прямоугольника (по теореме Пифагора):

     $$d = \sqrt{l^2 + w^2}$$

     Подставляем известное значение диагонали:

     $$39 = \sqrt{l^2 + w^2}$$

     Возведем обе стороны в квадрат:

     $$39^2 = l^2 + w^2$$ $$1521 = l^2 + w^2$$

2. Теперь у нас есть система уравнений:

   • $l + w = 51$
   • $l^2 + w^2 = 1521$

3. Решим систему уравнений.

   Из первого уравнения выразим $w$ через $l$:

   $$w = 51 - l$$

   Подставим это в второе уравнение:

   $$l^2 + (51 - l)^2 = 1521$$

   Раскроем скобки:

   $$l^2 + (51^2 - 2 \cdot 51 \cdot l + l^2) = 1521$$ $$l^2 + 2601 - 102l + l^2 = 1521$$

   Соберем все термины с $l$ и без $l$ на одной стороне:

   $$2l^2 - 102l + 2601 = 1521$$

   Упростим уравнение:

   $$2l^2 - 102l + 1080 = 0$$

   Разделим все на 2:

   $$l^2 - 51l + 540 = 0$$

4. Решим квадратное уравнение.

   Используем дискриминант:

   $$D = (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 540 = 2601 - 2160 = 441$$

   Теперь находим корни уравнения:

   $$l = \frac{-(-51) \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{51 \pm 21}{2}$$

   Получаем два возможных значения для $l$:

   $$l = \frac{51 + 21}{2} = 36 \quad \text{или} \quad l = \frac{51 - 21}{2} = 15$$

5. Находим соответствующие значения для $w$.

   Если $l = 36$, то:

   $$w = 51 - 36 = 15$$

   Если $l = 15$, то:

   $$w = 51 - 15 = 36$$

6. Ответ:

   Таким образом, длина прямоугольника $l = 36$, а ширина $w = 15$ или наоборот.