Записать уравнение касательной и уравнение нормали к кривой y = -4/3nx^3+2nx^2+5 в точке, в которой касательная параллельна прямой у = nx−1 при условии, что n = 4.

При $n=4$ заданная кривая имеет вид:

Нужно найти точку кривой, в которой касательная параллельна прямой

Так как $n=4$, эта прямая имеет вид:

Её угловой коэффициент равен $4$. Значит, угловой коэффициент касательной к кривой тоже должен быть равен $4$.

Найдём производную функции:

Приравняем производную к $4$:

Разделим на $4$:

Отсюда:

Теперь найдём соответствующее значение $y$:

Значит, точка касания:

Уравнение касательной ищем по формуле:

Здесь $k=4$, $x_0=\frac12$, $y_0=\frac{19}{3}$. Тогда:

Теперь найдём уравнение нормали. Нормаль перпендикулярна касательной, поэтому её угловой коэффициент равен отрицательному обратному числу к $4$:

Уравнение нормали: