Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = (1/2 * x^2) + 2, касательной к этому графику в точке x0 = −2 и прямой x = 0.

Найдём уравнение касательной к графику функции

в точке $x_0=-2$.

Сначала вычислим производную:

Значит, угловой коэффициент касательной в точке $x=-2$ равен

Найдём ординату точки касания:

Точка касания: $(-2,4)$.

Уравнение касательной:

Теперь ищем площадь фигуры, ограниченной:

• параболой $y=\frac12x^2+2$,

• касательной $y=-2x$,

• прямой $x=0$.

Эта площадь находится как интеграл разности “верхняя функция минус нижняя” на отрезке от $-2$ до $0$:

Заметим, что

Тогда

Сделаем вычисление:

поэтому

Ответ: