При каких значениях параметра p уравнение имеет два различных положительных корня?
x^2 + 2px + p^2 + 8p + 7 = 0

Преобразуем уравнение:

Первые три слагаемых образуют полный квадрат:

откуда

Тогда корни:

Чтобы было два различных корня, необходимо:

то есть

Теперь потребуем, чтобы оба корня были положительными. Достаточно проверить меньший корень:

Так как при $p<-\frac78$ число $-p$ положительно, можно возвести неравенство в квадрат:

Следовательно,

Совмещаем это с условием $p<-\frac78$:

При $p=-7$ или $p=-1$ один из корней равен нулю, поэтому эти значения не подходят.