При каких значениях параметра a уравнение (√x - a)(4x - 9) = 0 имеет единственное решение?

Давайте разберём этот вопрос шаг за шагом, как если бы мы решали его на сайте с разъяснением.

Уравнение:

Чтобы оно имело единственное решение, нужно понять, при каких $a$ это возможно.

Шаг 1: Разделим на два уравнения

Так как произведение равно нулю, хотя бы один множитель должен быть равен нулю:

1. $\sqrt{x} - a = 0 \implies \sqrt{x} = a \implies x = a^2$

2. $4x - 9 = 0 \implies x = \frac{9}{4}$

Итак, у нас есть два потенциальных решения:

• $x = a^2$ от первого множителя

• $x = \frac{9}{4}$ от второго множителя

Шаг 2: Условие единственного решения

Чтобы было ровно одно решение, два числа $a^2$ и $\frac{9}{4}$ должны столкнуться, иначе мы получим два различных решения.

То есть:

Шаг 3: Проверим условия

• При $a = \frac{3}{2}$:
  $x = a^2 = \frac{9}{4}$, совпадает с решением второго множителя. ✅

• При $a = -\frac{3}{2}$:
  $x = a^2 = (-\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$, совпадает с решением второго множителя. ✅

Заметим, что $\sqrt{x} - a = 0$ требует, чтобы $a \ge 0$, так как $\sqrt{x} \ge 0$. То есть отрицательное значение $a = -\frac{3}{2}$ здесь не подходит, потому что $\sqrt{x} = a$ не может быть отрицательным.

Шаг 4: Итог

Единственное решение уравнения возникает при:

В этом случае оба множителя дают одно и то же значение $x = \frac{9}{4}$, и больше других решений нет.