При каких значениях параметра p неравенство px^2+(2p-3)x+(p+3)>0 верно при всех значениях x

Для того чтобы решить задачу и понять, при каких значениях параметра $p$ неравенство $p x^2 + (2p - 3) x + (p + 3) > 0$ верно при всех значениях $x$, необходимо рассмотреть свойства квадратичного выражения.

1. Определение коэффициентов

У нас есть квадратичное неравенство:

В этой задаче нам нужно понять, при каких значениях параметра $p$ это неравенство будет выполняться для всех значений $x$.

2. Общая форма квадратичного неравенства

Общее неравенство для квадратного выражения $a x^2 + b x + c > 0$ будет верно при всех значениях $x$, если:

• Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ меньше нуля (т.е. нет действительных корней).
• Коэффициент $a$ (перед $x^2$) положителен, чтобы парабола "открывалась вверх".

В нашем случае:

• $a = p$
• $b = 2p - 3$
• $c = p + 3$

3. Условие для дискриминанта

Для того чтобы парабола не пересекала ось $x$, необходимо, чтобы дискриминант был отрицателен. Дискриминант для квадратичного уравнения $p x^2 + (2p - 3) x + (p + 3) = 0$ равен:

Вычислим дискриминант:

Для того чтобы неравенство $p x^2 + (2p - 3) x + (p + 3) > 0$ было верно при всех $x$, дискриминант должен быть меньше нуля:

Решим это неравенство:

Таким образом, для того чтобы дискриминант был отрицателен, $p > \frac{3}{8}$.

4. Условие для положительности $a$

Кроме того, коэффициент $a = p$ должен быть положительным, чтобы парабола открывалась вверх (иначе она будет направлена вниз, и неравенство не будет выполняться при всех $x$).

Таким образом, для выполнения этого условия необходимо:

5. Объединение условий

Теперь у нас есть два условия:

• $p > \frac{3}{8}$
• $p > 0$

Наибольшее из этих значений — это $p > \frac{3}{8}$, поскольку оно более строгое.

6. Ответ

Неравенство $p x^2 + (2p - 3) x + (p + 3) > 0$ будет верно для всех значений $x$ при условии, что $p > \frac{3}{8}$.