Составьте всевозможные четырёхзначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр 3, 6, 7, 9. Сколько из них: 1) делится на 4; 2) сколько чисел начинается с цифры 6; 3) сколько чисел заканчивается цифрой 7; 4) сколько нечётных чисел стоят рядом? 5) сколько чисел делится на 3?

Из цифр 3, 6, 7, 9 можно составить $4! = 24$ четырёхзначных числа:

3679, 3697, 3769, 3796, 3967, 3976;
6379, 6397, 6739, 6793, 6937, 6973;
7369, 7396, 7639, 7693, 7936, 7963;
9367, 9376, 9637, 9673, 9736, 9763.

1) Числа, которые делятся на 4

Число делится на 4, если его последние две цифры образуют число, делящееся на 4.

Подходящие окончания:

• 36;

• 76;

Для каждого окончания две оставшиеся цифры можно переставить двумя способами:

• с окончанием 36: 7936, 9736;

• с окончанием 76: 3976, 9376;

• с окончанием 96: 3796, 7396.

Итого:

Ответ: 6 чисел.

2) Числа, начинающиеся с цифры 6

Первое место уже занято цифрой 6. Оставшиеся цифры 3, 7 и 9 можно переставить:

способами.

Это числа:

6379, 6397, 6739, 6793, 6937, 6973.

Ответ: 6 чисел.

3) Числа, заканчивающиеся цифрой 7

Последнее место занято цифрой 7. Цифры 3, 6 и 9 можно расположить на первых трёх местах:

способами.

Это числа:

3697, 3967, 6397, 6937, 9367, 9637.

Ответ: 6 чисел.

4) Числа, в которых нечётные цифры стоят рядом

Нечётные цифры здесь — 3, 7 и 9. Чтобы все они стояли рядом, объединим их в один блок. Тогда возможны два расположения:

Внутри блока три нечётные цифры можно переставить:

способами. Поэтому всего:

Ответ: 12 чисел.

Если же в пункте требуется количество нечётных чисел, то нечётное число должно заканчиваться цифрой 3, 7 или 9. Последнюю цифру можно выбрать тремя способами, а остальные — переставить $3!$ способами:

То есть нечётных чисел — 18.

5) Числа, которые делятся на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Сумма цифр любого составленного числа:

Число 25 на 3 не делится, поэтому ни одно из составленных чисел не делится на 3.

Ответ: 0 чисел.

Итоговые ответы:

1. $6$;

2. $6$;

3. $6$;

4. $12$, если нечётные цифры должны стоять рядом; $18$, если спрашивается количество нечётных чисел;

5. $0$.