В классе 15 девочек, восьмерых из них зовут Ленами, пятерых – Анями, а остальных – Наташами. Новый учитель, еще не знающий имен учащихся, вызывает их к доске.

а) Вызывается одна девочка. Какова вероятность того, что вызванную зовут Наташей?

б) Вызывается одна девочка. Какова вероятность того, что вызванную зовут Леной?

в) Какое наименьшее количество девочек нужно вызвать, чтобы с вероятностью 1 среди них была Аня?

2. Объясните, равновероятны ли следующие события:

а) Сумма цифр наугад написанного трехзначного числа равна 1.

б) Сумма цифр наугад написанного трехзначного числа равна 6.

Часть 1: Вероятности для имен девочек

Условие задачи: В классе 15 девочек, среди них:

• 8 Лен,
• 5 Ань,
• 2 Наташи.

а) Какова вероятность того, что вызванную девочку зовут Наташей?

Вероятность события вычисляется по формуле:

Благоприятные исходы — это 2 Наташи. Общее количество девочек — 15.

Ответ: вероятность того, что вызванную зовут Наташей, равна $\frac{2}{15}$ или примерно 0.133 (13.3%).

б) Какова вероятность того, что вызванную девочку зовут Леной?

Благоприятные исходы — это 8 Лен.

Ответ: вероятность того, что вызванную зовут Леной, равна $\frac{8}{15}$ или примерно 0.533 (53.3%).

в) Какое наименьшее количество девочек нужно вызвать, чтобы с вероятностью 1 среди них была Аня?

В классе 5 Ань и 10 девочек с другими именами. Если мы вызовем ровно 10 девочек, есть вероятность, что все они будут не Анями (выберем всех Лен и Наташ). Однако, если вызваны 11 девочек, то хотя бы одна из них обязательно будет Аней, потому что общее количество девочек в классе — 15, а не Ань всего 10.

Ответ: чтобы с вероятностью 1 среди вызванных девочек была Аня, нужно вызвать 11 девочек.

Часть 2: Равновероятны ли события для суммы цифр трехзначного числа?

Условие: Рассматриваем трехзначные числа (от 100 до 999). Нужно определить, равновероятны ли события:

• а) сумма цифр числа равна 1,
• б) сумма цифр числа равна 6.

Анализ

1. Общее количество трехзначных чисел: от 100 до 999 включительно — это $999 - 100 + 1 = 900$.

2. Для равновероятности событий важно, сколько трехзначных чисел соответствует каждой из указанных сумм.

а) Сумма цифр числа равна 1

Для суммы цифр числа равной 1:

• Возможные варианты: первая цифра (сотни) должна быть 1, а остальные две цифры (десятки и единицы) должны быть равны 0.
• Единственное такое число: 100.

Количество благоприятных чисел: 1.

б) Сумма цифр числа равна 6

Для суммы цифр числа равной 6:

• Возможны разные комбинации цифр. Например:
  • $1 + 5 + 0$,
  • $2 + 4 + 0$,
  • $3 + 3 + 0$,
  • и так далее.

Здесь требуется перебор всех возможных комбинаций цифр сотен, десятков и единиц, чтобы их сумма была равна 6. Выясняется, что таких комбинаций намного больше, чем для суммы 1.

Вывод

События "сумма цифр числа равна 1" и "сумма цифр числа равна 6" не равновероятны, потому что количество благоприятных чисел для этих событий сильно различается. Для суммы 6 таких чисел значительно больше.