A) 12 студентов сдавали экзамены по математике и физике из двух экзаменов 1 студент не сдал экзамен по математике 3 по физике и 1 по двум предметам. Сколько всего неуспевающих студентов b) Из 30 чисел которые больше 10, 20 чисел являются простыми, 25-нечетными. Сколько простых нечетных чисел из них ?

Ответ на задание A

1. Пусть общее количество студентов - 12 человек.

2. Сформулируем условие задачи:

   • 1 студент не сдал экзамен по математике.
   • 3 студента не сдали экзамен по физике.
   • 1 студент не сдал оба экзамена.

3. Рассчитаем количество неуспевающих студентов.

   Чтобы определить общее количество неуспевающих студентов, используем принцип включения-исключения.

   Пусть:

   • $M$ — множество студентов, не сдавших математику.
   • $F$ — множество студентов, не сдавших физику.

   Тогда количество студентов в этих множествах:

   • $|M| = 1$ (не сдавшие математику),
   • $|F| = 3$ (не сдавшие физику),
   • $|M \cap F| = 1$ (не сдавшие оба экзамена).

   По принципу включения-исключения:

   $$|M \cup F| = |M| + |F| - |M \cap F|$$

   Подставляем значения:

   $$|M \cup F| = 1 + 3 - 1 = 3$$

   Следовательно, всего 3 студента являются неуспевающими.

Ответ на задание B

1. Пусть дано множество из 30 чисел, каждое из которых больше 10.

2. Введем условия задачи:

   • Среди этих чисел 20 чисел являются простыми.
   • 25 чисел нечетные.
   • Требуется найти количество чисел, которые одновременно являются простыми и нечетными.

3. Используем принцип включения-исключения для определения количества чисел, удовлетворяющих одновременно обоим условиям.

   Пусть:

   • $P$ — множество простых чисел ($|P| = 20$),
   • $N$ — множество нечетных чисел ($|N| = 25$).

   Найдем пересечение этих множеств, т.е., количество чисел, которые являются одновременно простыми и нечетными.

   По формуле включения-исключения для пересечения двух множеств:

   $$|P \cap N| = |P| + |N| - |P \cup N|$$

   Однако, нам известно, что всего чисел 30, то есть:

   $$|P \cup N| \leq 30$$

   Следовательно:

   $$|P \cap N| = |P| + |N| - 30 = 20 + 25 - 30 = 15$$

   Таким образом, 15 чисел являются одновременно простыми и нечетными.