Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение стороны АВ; 3) уравнение высоты СН; 4) уравнение медианы АМ; 5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; 6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ. А(-2;3), В(0;7), С(8;3).

Даны точки:

[
A(-2;3),\qquad B(0;7),\qquad C(8;3).
]

1. Длина стороны (AB)

Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле:

[
AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
]

Подставим координаты:

[
AB=\sqrt{(0-(-2))^2+(7-3)^2}
=\sqrt{2^2+4^2}
=\sqrt{4+16}
=\sqrt{20}.
]

Следовательно,

[
\boxed{AB=2\sqrt5}.
]

2. Уравнение стороны (AB)

Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно составить в виде:

\frac{y-y_A}{y_B-y_A}.
]

Для точек (A(-2;3)) и (B(0;7)):

[
\frac{x+2}{0+2}=\frac{y-3}{7-3}.
]

[
\frac{x+2}{2}=\frac{y-3}{4}.
]

Перемножим крест-накрест:

[
4(x+2)=2(y-3).
]

[
4x+8=2y-6.
]

[
2x-y+7=0.
]

Таким образом, уравнение стороны (AB):

[
\boxed{2x-y+7=0}.
]

Или в виде функции:

[
\boxed{y=2x+7}.
]

3. Уравнение высоты (CH)

Угловой коэффициент прямой (AB):

[
k_{AB}=\frac{7-3}{0-(-2)}=\frac42=2.
]

Высота (CH) перпендикулярна стороне (AB). Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны равенством:

[
k_{AB}\cdot k_{CH}=-1.
]

Следовательно,

[
2k_{CH}=-1,
]

[
k_{CH}=-\frac12.
]

Высота проходит через точку (C(8;3)). Используем уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом:

[
y-y_C=k_{CH}(x-x_C).
]

[
y-3=-\frac12(x-8).
]

Умножим на (2):

[
2y-6=-x+8.
]

[
x+2y-14=0.
]

Таким образом, уравнение высоты (CH):

[
\boxed{x+2y-14=0}.
]

Или:

[
\boxed{y=-\frac12x+7}.
]

Заметим, что точка (B(0;7)) удовлетворяет этому уравнению:

[
0+2\cdot7-14=0.
]

Следовательно, высота (CH) совпадает со стороной (CB), а основанием высоты является точка

[
H=B(0;7).
]

4. Уравнение медианы (AM)

Медиана (AM) соединяет вершину (A) с серединой противоположной стороны (BC).

Найдём координаты середины (M) отрезка (BC):

[
x_M=\frac{x_B+x_C}{2}
=\frac{0+8}{2}=4,
]

[
y_M=\frac{y_B+y_C}{2}
=\frac{7+3}{2}=5.
]

Следовательно,

[
M(4;5).
]

Теперь составим уравнение прямой, проходящей через точки (A(-2;3)) и (M(4;5)).

Угловой коэффициент медианы:

[
k_{AM}=\frac{5-3}{4-(-2)}
=\frac26
=\frac13.
]

Уравнение прямой через точку (A(-2;3)):

[
y-3=\frac13(x+2).
]

Умножим на (3):

[
3y-9=x+2.
]

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

[
x-3y+11=0.
]

Таким образом, уравнение медианы (AM):

[
\boxed{x-3y+11=0}.
]

Или:

[
\boxed{y=\frac13x+\frac{11}{3}}.
]

5. Точка (N) пересечения медианы (AM) и высоты (CH)

Имеем систему уравнений:

[
\begin{cases}
x-3y+11=0,\
x+2y-14=0.
\end{cases}
]

Из второго уравнения:

[
x=14-2y.
]

Подставим это выражение в первое уравнение:

[
14-2y-3y+11=0.
]

[
25-5y=0.
]

[
5y=25,
]

[
y=5.
]

Найдём (x):

[
x=14-2\cdot5=4.
]

Таким образом, точка пересечения медианы и высоты:

[
\boxed{N(4;5)}.
]

Точка (N) совпадает с точкой (M), то есть с серединой стороны (BC).

6. Уравнение прямой, проходящей через вершину (C) параллельно стороне (AB)

Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поскольку

[
k_{AB}=2,
]

то искомая прямая также имеет угловой коэффициент (2).

Она проходит через точку (C(8;3)), поэтому:

[
y-3=2(x-8).
]

Раскроем скобки:

[
y-3=2x-16.
]

[
y=2x-13.
]

В общем виде:

[
2x-y-13=0.
]

Следовательно, искомое уравнение:

[
\boxed{2x-y-13=0}.
]

Или:

[
\boxed{y=2x-13}.
]

Ответ

[
\boxed{AB=2\sqrt5;}
]

[
\boxed{AB:\ 2x-y+7=0;}
]

[
\boxed{CH:\ x+2y-14=0;}
]

[
\boxed{AM:\ x-3y+11=0;}
]

[
\boxed{N(4;5);}
]

[
\boxed{2x-y-13=0}
]

— уравнение прямой, проходящей через точку (C) параллельно стороне (AB).