K,M,N,P- вершины прямоугольника.
а) постройте точки К(-3;8); М(4;8); N(4;-2).
б) постройте точку Р и найдите ее координаты;
в) постройте О- точку пересечения отрезков KN и MP и найдите ее координаты.

Решение:

а) Постройте точки K(-3;8), M(4;8), N(4;-2)

Для начала построим три точки: $K(-3;8)$, $M(4;8)$, $N(4;-2)$.

1. Точка $K(-3;8)$:
   • $x = -3$, $y = 8$. Это означает, что точка находится на 3 единицы влево от начала координат по оси $x$ и на 8 единиц вверх по оси $y$.
2. Точка $M(4;8)$:
   • $x = 4$, $y = 8$. Точка находится на 4 единицы вправо от начала координат по оси $x$ и также на 8 единиц вверх по оси $y$.
3. Точка $N(4;-2)$:
   • $x = 4$, $y = -2$. Точка расположена на 4 единицы вправо по оси $x$ и на 2 единицы вниз по оси $y$.

Эти три точки образуют три вершины прямоугольника.

б) Постройте точку P и найдите ее координаты

Точка $P$ должна быть четвёртой вершиной прямоугольника. Так как $K, M, N$ — три известных вершины прямоугольника, мы можем воспользоваться свойством прямоугольника: противоположные стороны параллельны и равны по длине.

1. Для того чтобы найти координаты точки $P$, отметим, что она должна быть на одной горизонтали с точкой $N$ и на одной вертикали с точкой $K$, поскольку это прямоугольник.
2. Координаты точки $P$ будут иметь тот же $y$-координату, что и точка $N$, то есть $y_P = -2$, и тот же $x$-координату, что и точка $K$, то есть $x_P = -3$.

Таким образом, координаты точки $P$ будут $(-3;-2)$.

в) Постройте O — точку пересечения отрезков KN и MP и найдите ее координаты

Теперь нам нужно найти точку пересечения диагоналей прямоугольника — отрезков $KN$ и $MP$.

1. Диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке и делятся пополам, поэтому их точка пересечения будет серединой каждого из этих отрезков.

2. Найдём середину отрезка $KN$. Для этого воспользуемся формулой нахождения середины отрезка:

   $$O_x = \frac{x_K + x_N}{2} = \frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2} = 0.5,$$ $$O_y = \frac{y_K + y_N}{2} = \frac{8 + (-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

   Таким образом, середина отрезка $KN$ имеет координаты $O(0.5; 3)$.

3. Теперь проверим, является ли эта точка также серединой отрезка $MP$. Координаты середины отрезка $MP$:

   $$O_x = \frac{x_M + x_P}{2} = \frac{4 + (-3)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5,$$ $$O_y = \frac{y_M + y_P}{2} = \frac{8 + (-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

   Получаем те же самые координаты $O(0.5; 3)$, что и для середины отрезка $KN$, значит, точка пересечения диагоналей — это точка $O(0.5; 3)$.

Ответ:

а) Построены точки $K(-3;8)$, $M(4;8)$, $N(4;-2)$.
б) Координаты точки $P$: $(-3;-2)$.
в) Координаты точки пересечения диагоналей $O$: $(0.5;3)$.