Найти площадь фигуры, ограниченной прямой y = 1 - 2x и графиком y = x² - 5x - 3.

Решение.

Даны две функции:

Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций.

Шаг 1. Найдём точки пересечения графиков

Для этого приравняем правые части уравнений:

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Отсюда:

Таким образом, фигура ограничена по оси $Ox$ значениями $x=-1$ и $x=4$.

Шаг 2. Определим, какая функция расположена выше

На промежутке $[-1;4]$ прямая $y=1-2x$ расположена выше параболы $y=x^2-5x-3$.

Проверим это, например, при $x=0$.

Для прямой:

Для параболы:

Так как $1>-3$, верхняя функция — прямая, нижняя — парабола.

Шаг 3. Составим определённый интеграл

Площадь фигуры между двумя графиками вычисляется по формуле:

где $f(x)$ — верхняя функция, $g(x)$ — нижняя.

Подставляем наши функции и пределы интегрирования:

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Шаг 4. Вычислим интеграл

Найдём первообразную:

Применяем формулу Ньютона — Лейбница:

Подставим верхний предел $x=4$: