Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=х в третьей степени и прямыми у=0 и х=2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и прямыми $y = 0$ и $x = 2$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Понимание области: Мы ищем площадь области, ограниченной графиком функции $y = x^3$, осью $x$ (то есть прямой $y = 0$) и вертикальной прямой $x = 2$.

2. Определение границ интегрирования:

   • График функции $y = x^3$ будет пересекаться с осью $x$ (где $y = 0$) при $x = 0$, потому что при $x = 0$ $y = 0^3 = 0$.
   • Таким образом, область, которую мы ищем, находится между $x = 0$ и $x = 2$.

3. Интегрирование: Площадь можно найти через определенный интеграл от функции $y = x^3$ по интервалу от 0 до 2. Для этого нужно вычислить интеграл:

   $$S = \int_0^2 x^3 \, dx$$

4. Вычисление интеграла: Чтобы вычислить интеграл $\int x^3 \, dx$, нужно найти неопределенный интеграл:

   $$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}$$

   Теперь подставим пределы интегрирования (от 0 до 2):

   $$S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4}$$ $$S = \frac{16}{4} - 0 = 4$$

5. Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$, прямыми $y = 0$ и $x = 2$, равна 4 единицам площади.