Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= 3 sin x cos x +1. Подробно

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 3 \sin x \cos x + 1$, мы выполним следующие шаги:

1. Упрощение функции: Сначала упростим функцию, используя тригонометрические тождества. Зная, что $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, мы можем переписать функцию как $y = \frac{3}{2} \sin(2x) + 1$.

2. Нахождение производной: Далее найдем производную $y$ по $x$, чтобы определить критические точки функции. Критические точки - это точки, где производная равна нулю или не существует, и они могут указывать на локальные максимумы или минимумы функции.

3. Определение критических точек: Решим уравнение $y' = 0$, чтобы найти критические точки.

4. Анализ критических точек: Определим, являются ли эти точки максимумами, минимумами или ни тем, ни другим, используя первую или вторую производную.

5. Нахождение наибольшего и наименьшего значений: Вычислим значения функции в критических точках и на концах области определения (если она ограничена), чтобы найти наибольшее и наименьшее значения.

Теперь выполним эти шаги.

Шаг 1: Упрощение функции

Упрощаем функцию: $y = \frac{3}{2} \sin(2x) + 1$

Шаг 2: Нахождение производной

Найдем производную функции: $y' = \frac{3}{2} \cos(2x) \cdot 2 = 3\cos(2x)$

Шаг 3: Определение критических точек

Решаем $y' = 0$: $3\cos(2x) = 0$

Шаг 4: Анализ критических точек

Решим это уравнение, чтобы найти критические точки.

Шаг 5: Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Вычислим значения функции в критических точках.

Давайте применим эти шаги для решения задачи.

Производная функции $y$ равна $3\cos(2x)$. Решая уравнение $3\cos(2x) = 0$ для $x$, мы находим, что критические точки функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ и $x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$, где $n$ - целое число.

Шаг 5: Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Для определения, являются ли эти точки максимумами или минимумами функции, мы вычислим значение функции в этих точках. Отметим, что функция $y$ периодична с периодом $\pi$, так что достаточно рассмотреть интервал $[0, \pi]$.

Теперь давайте вычислим значения функции в этих критических точках. ​​

Значения функции в критических точках равны:

• В $x = \frac{\pi}{4}$, $y = 2.5$
• В $x = \frac{3\pi}{4}$, $y = -0.5$

Таким образом, наибольшее значение функции $y = 3 \sin x \cos x + 1$ на интервале $[0, \pi]$ равно 2.5, а наименьшее значение равно -0.5. Поскольку функция периодична с периодом $\pi$, эти значения будут повторяться для каждого интервала длиной $\pi$ на всей числовой прямой. ​​