Найдите наименьшее целое положительное число n, такое что An=1+11+111+⋯+1…1 (последнее слагаемое содержит n единиц) делится на 45.

Обозначим число из \( k \) единиц как \( R_k \). Тогда

\[ A_n=R_1+R_2+\dots+R_n. \]

Чтобы \( A_n \) делилось на \(45\), оно должно делиться на \(5\) и на \(9\).

По модулю \(5\) каждое число \( R_k \) оканчивается на \(1\), значит \( R_k \equiv 1 \pmod 5 \). Поэтому

\[ A_n \equiv n \pmod 5. \]

Значит, \( n \) должно делиться на \(5\).

По модулю \(9\) число из \( k \) единиц имеет сумму цифр \( k \), поэтому \( R_k \equiv k \pmod 9 \). Тогда

\[ A_n \equiv 1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2} \pmod 9. \]

Нужно, чтобы \( \frac{n(n+1)}{2} \) делилось на \(9\). Это возможно, когда \( n \equiv 0 \pmod 9 \) или \( n \equiv 8 \pmod 9 \).

Теперь ищем наименьшее положительное \( n \), которое делится на \(5\) и даёт остаток \(0\) или \(8\) при делении на \(9\). Проверяем кратные \(5\):

\(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35\). Число \(35\) даёт остаток \(8\) при делении на \(9\).

Ответ: \( n=35 \).

0 0 Пожаловаться