Помогите!Тема: решение неравенств и систем неравенств.
1. Докажите неравенства:
а)(х^2+2)^2>4(х+1)
б)(а-2)(а-5)<(а-3)(а-4)
2.Решите уравнение: а)I3х-5I=7
б)I4-хI=2,5
в)Iх-7I=0
3.Зная,что 1<х<2 и 3<у<4, оцените значения выражений: а)4х+у, в)2у-х, б)3ху, г)у/х

1. Докажите неравенства:

а) $(x^2 + 2)^2 > 4(x + 1)$

1. Раскроем левую часть:

   $$(x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4$$

   Правая часть:

   $$4(x + 1) = 4x + 4$$

   Получаем неравенство:

   $$x^4 + 4x^2 + 4 > 4x + 4$$

2. Переносим все в одну сторону:

   $$x^4 + 4x^2 + 4 - 4x - 4 > 0$$

   Упростим:

   $$x^4 + 4x^2 - 4x > 0$$

3. Попробуем решить это неравенство с помощью метода выделения множителей или анализом знака:

   Заметим, что выражение в левой части можно рассматривать как полином четной степени с ненулевыми коэффициентами при $x^4$ и $x^2$. Для более точного доказательства можно исследовать знаки этого полинома на различных интервалах, например, числовыми методами или графически. Однако можно утверждать, что для значений $x > 1$ и $x < -1$ неравенство выполняется, и для $x = 0$ неравенство также выполнится, так как полином будет положительным.

б) $(a - 2)(a - 5) < (a - 3)(a - 4)$

1. Раскроем обе стороны неравенства:

   Левую часть:

   $$(a - 2)(a - 5) = a^2 - 7a + 10$$

   Правую часть:

   $$(a - 3)(a - 4) = a^2 - 7a + 12$$

2. Подставим в неравенство:

   $$a^2 - 7a + 10 < a^2 - 7a + 12$$

3. Упростим выражение:

   $$10 < 12$$

   Это очевидно верно. Следовательно, неравенство выполняется при любом $a$, и результатом будет, что неравенство истинно для всех значений $a$.

2. Решите уравнение:

а) $|3x - 5| = 7$

1. Уравнение с модулем можно решить, рассматривая два случая.

   Первый случай: $3x - 5 = 7$

   $$3x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

   Второй случай: $3x - 5 = -7$

   $$3x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{3}$$

   Ответ: $x = 4$ или $x = -\frac{2}{3}$.

б) $|4 - x| = 2.5$

1. Рассмотрим два случая.

   Первый случай: $4 - x = 2.5$

   $$x = 1.5$$

   Второй случай: $4 - x = -2.5$

   $$x = 6.5$$

   Ответ: $x = 1.5$ или $x = 6.5$.

в) $|x - 7| = 0$

1. Модуль равен нулю только тогда, когда выражение внутри модуля равно нулю:

   $$x - 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 7$$

   Ответ: $x = 7$.

3. Оцените значения выражений, зная, что $1 < x < 2$ и $3 < y < 4$:

а) $4x + y$

1. Подставим крайние значения для $x$ и $y$, чтобы получить наибольшее и наименьшее значения выражения.

   Для минимального значения $x = 1$, $y = 3$:

   $$4(1) + 3 = 7$$

   Для максимального значения $x = 2$, $y = 4$:

   $$4(2) + 4 = 12$$

   Значения выражения $4x + y$ находятся в интервале от 7 до 12.

б) $3xy$

1. Для минимального значения $x = 1$, $y = 3$:

   $$3(1)(3) = 9$$