1-х/х+1<0 решение неравенств методом интервалов решите пж​

Для решения неравенства $\frac{x}{x+1} < 0$ методом интервалов, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдите нули числителя и знаменателя

Первое, что нужно сделать, это найти значения $x$, при которых дробь равна нулю или не определена:

1. Нули числителя: $x = 0$. Это значение делает числитель равным нулю.
2. Нули знаменателя: $x + 1 = 0$ или $x = -1$. Это значение делает дробь не определенной (знаменатель равен нулю).

Шаг 2: Разделите числовую прямую на интервалы

Теперь мы определим интервалы на числовой прямой, основываясь на найденных значениях:

• Интервал 1: $(-\infty, -1)$
• Интервал 2: $(-1, 0)$
• Интервал 3: $(0, +\infty)$

Шаг 3: Выберите тестовые точки

Теперь выберем тестовые точки в каждом интервале для проверки знака выражения $\frac{x}{x+1}$.

1. Для интервала $(-\infty, -1)$: Возьмем точку $x = -2$.

   $$\frac{-2}{-2 + 1} = \frac{-2}{-1} = 2 \quad (\text{положительное})$$

2. Для интервала $(-1, 0)$: Возьмем точку $x = -0.5$.

   $$\frac{-0.5}{-0.5 + 1} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \quad (\text{отрицательное})$$

3. Для интервала $(0, +\infty)$: Возьмем точку $x = 1$.

   $$\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \quad (\text{положительное})$$

Шаг 4: Подводим итоги

Теперь мы можем подвести итоги по знакам:

• В интервале $(-\infty, -1)$: положительное.
• В интервале $(-1, 0)$: отрицательное.
• В интервале $(0, +\infty)$: положительное.

Шаг 5: Найдите решение неравенства

Неравенство $\frac{x}{x+1} < 0$ выполняется только в интервале $(-1, 0)$.

Шаг 6: Учтите границы

Теперь нужно определить, включать ли границы в решение:

• $x = -1$: дробь не определена (знаменатель равен нулю).
• $x = 0$: дробь равна нулю (не подходит, так как ищем строгое неравенство).

Окончательный ответ

Таким образом, решение неравенства $\frac{x}{x+1} < 0$ будет:

Это значит, что все значения $x$ в интервале от $-1$ до $0$ (не включая сами границы) удовлетворяют данному неравенству.