Школьники занимаются прополкой огорода, который находится на пришкольном участке. Работают они с разной скоростью, а некоторые из них, как показывает практика, даже мешают общей работе, просто закапывая сорняки или перебрасывая их на участок соседа... Вчерашняя работа показала, что Петя и Алина выплывают грядку за 22 минуты, Алина и Серёжа выплывают её же за 44 минуты, Серёжа и Петя-за 66 минут

За сколько минут выполнят эту работу все вместе?​

Для решения задачи давайте введем обозначения, которые помогут наглядно описать работу каждого школьника.

Обозначим:

• скорость работы Пети через $P$ (то есть, сколько минут Петя тратит на выполнение всей работы, если работает один).
• скорость работы Алины через $A$.
• скорость работы Серёжи через $S$.

Скорость работы всех вместе можно выразить как сумму их индивидуальных скоростей. То есть, если Петя, Алина и Серёжа работают вместе, их общая скорость будет $P + A + S$.

1. Используем информацию из условия задачи:

• Петя и Алина выполнили работу за 22 минуты. Это значит, что их совместная скорость работы равна $\frac{1}{22}$ (поскольку за 22 минуты они выполняют 1 работу).

  То есть, у нас есть уравнение:

  $$P + A = \frac{1}{22}.$$

• Алина и Серёжа выполнили работу за 44 минуты. Их совместная скорость работы равна $\frac{1}{44}$:

  $$A + S = \frac{1}{44}.$$

• Серёжа и Петя выполнили работу за 66 минут. Их совместная скорость работы равна $\frac{1}{66}$:

  $$S + P = \frac{1}{66}.$$

2. Составляем систему уравнений:

У нас получилось три уравнения:

Теперь давайте сложим все три уравнения:

Слева у нас:

то есть:

Теперь найдём сумму $\frac{1}{22} + \frac{1}{44} + \frac{1}{66}$. Для этого нужно привести дроби к общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель для 22, 44 и 66 — это 132. Приведём каждую дробь к знаменателю 132:

Теперь сложим эти дроби:

Таким образом, у нас получается:

Теперь делим обе части на 2:

3. Находим время, которое все вместе будут работать:

Теперь, когда мы знаем, что $P + A + S = \frac{11}{264}$, это означает, что за 1 минуту все вместе выполняют $\frac{11}{264}$ работы. Чтобы найти время, которое они будут работать, нужно взять обратную величину этого числа:

Таким образом, все вместе Петя, Алина и Серёжа выполнит раб