Один кран наполняет бассейн на 6 часов быстрее другого. Два крана, работая вместе, наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов может наполнить каждый кран, работая отдельно?
Решите с помощью уравнения.

Задача заключается в том, чтобы найти, сколько времени каждый кран может наполнять бассейн, работая отдельно. Давайте решим эту задачу с помощью системы уравнений.

Шаг 1: Обозначим неизвестные

Пусть время, за которое первый кран наполняет бассейн, равно $x$ часов, а время, за которое второй кран наполняет бассейн, равно $y$ часов.

Шаг 2: Переведем условие задачи в уравнения

1. Первый кран наполняет бассейн за $x$ часов, значит, его производительность (сколько бассейна он заполняет за 1 час) будет $\frac{1}{x}$.
2. Второй кран наполняет бассейн за $y$ часов, значит, его производительность будет $\frac{1}{y}$.
3. Когда оба крана работают вместе, они наполняют бассейн за 4 часа, значит их суммарная производительность составляет $\frac{1}{4}$.

Из этих данных можно составить следующее уравнение:

Также известно, что первый кран наполняет бассейн на 6 часов быстрее второго, то есть:

Шаг 3: Подставим выражение для $x$ в первое уравнение

Теперь подставим $x = y - 6$ во второе уравнение:

Шаг 4: Упростим уравнение

Приведем к общему знаменателю:

Упростим числитель:

Теперь умножим обе части уравнения на 4 и на $y(y - 6)$ (чтобы избавиться от дробей):

Распишем обе части:

Шаг 5: Переносим все в одну сторону

Переносим все выражения в одну сторону:

Упростим:

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Решим квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

Здесь два возможных значения:

1. $y = \frac{14 + 10}{2} = 12$
2. $y = \frac{14 - 10}{2} = 2$

Шаг 7: Проверим значения

Так как $y$ — это время второго крана, оно не может быть равно 2 часам, потому что первый кран работает быстрее, чем второй. Следовательно, $y = 12$.

Теперь, подставим $y = 12$ в уравнение $x = y - 6$:

Ответ

Первый кран может наполнить бассейн за 6 часов, а второй — за 12 часов.