Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна. наполняет бассейн на 3 ч быстрее. чем вторая?

Рассмотрим задачу пошагово и подробно разберём её решение.

Дано:

1. Две трубы вместе наполняют бассейн за 2 часа.
2. Первая труба наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая.

Необходимо найти, за сколько часов первая труба наполняет бассейн, если она работает одна.

Решение:

1. Обозначим время, за которое вторая труба наполняет бассейн, как $t$ (в часах).
   Тогда время, за которое первая труба наполняет бассейн, равно $t - 3$ (в часах).

2. Скорости наполнения труб:

   • Вторая труба наполняет бассейн за $t$ часов, её скорость будет $\frac{1}{t}$ бассейна в час.
   • Первая труба наполняет бассейн за $t - 3$ часов, её скорость будет $\frac{1}{t - 3}$ бассейна в час.

3. Скорость совместного наполнения бассейна:
   Когда две трубы работают одновременно, они наполняют весь бассейн за 2 часа. Их совместная скорость равна $\frac{1}{2}$ бассейна в час.

   Значит, можно записать уравнение для совместной скорости:

   $$\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 3} = \frac{1}{2}$$

4. Решаем уравнение:
   Приводим левую часть к общему знаменателю:

   $$\frac{t - 3 + t}{t(t - 3)} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{2t - 3}{t(t - 3)} = \frac{1}{2}$$

   Умножим обе части на $2t(t - 3)$, чтобы избавиться от дробей:

   $$2(2t - 3) = t(t - 3)$$

   Раскроем скобки:

   $$4t - 6 = t^2 - 3t$$

   Приведём всё к стандартному виду квадратного уравнения:

   $$t^2 - 7t + 6 = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение:
   Разложим его на множители:

   $$t^2 - 7t + 6 = (t - 6)(t - 1) = 0$$

   Получаем два корня:

   $$t = 6 \quad \text{и} \quad t = 1$$

6. Проверяем корни:
   Время $t = 1$ не подходит, так как вторая труба не может наполнять бассейн быстрее первой ($t - 3 < 0$).
   Значит, $t = 6$ часов — это корректное решение.

7. Найдём время для первой трубы:
   Первая труба наполняет бассейн за $t - 3 = 6 - 3 = 3$ часа.

Ответ:

Первая труба может наполнить бассейн одна за 3 часа.