Решить уравнение: √-x^2+3x+5=√x+10

Решим уравнение: $\sqrt{-x^2 + 3x + 5} = \sqrt{x + 10}$.

Для начала возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней. Но перед этим стоит отметить, что выражения под корнями должны быть неотрицательными, так как корень из отрицательного числа в пределах вещественных чисел не существует. То есть, нужно будет учесть области допустимых значений.

1. Условия существования корней:

Для $\sqrt{-x^2 + 3x + 5}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:

Решим это неравенство. Перепишем его в стандартной форме:

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$, используя дискриминант:

Корни уравнения:

Таким образом, корни равны $x_1 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$.

Теперь рассмотрим, на каком интервале выражение $x^2 - 3x - 5 \leq 0$. Парабола $y = x^2 - 3x - 5$ открывается вверх (положительный коэффициент при $x^2$), и выражение будет отрицательным или равным нулю между корнями. То есть, область допустимых значений для $\sqrt{-x^2 + 3x + 5}$ будет:

Для $\sqrt{x + 10}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:

что означает $x \geq -10$.

2. Возведение в квадрат:

Теперь, когда мы убедились, что выражения под корнями допустимы, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

получаем:

Преобразуем это уравнение:

Умножим на $-1$, чтобы избавиться от отрицательного знака:

Это квадратное уравнение. Для того чтобы решить его, найдем дискриминант: