Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 56 градусов. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Чтобы найти угол $\angle ABO$, давайте сначала разобьем задачу на несколько шагов, используя геометрические свойства окружности и касательных.

1. Изображение и основные элементы: Пусть $O$ — центр окружности, $A$ и $B$ — точки касания касательных к окружности. Касательные к окружности в точках $A$ и $B$ пересекаются в некоторой точке $P$ вне окружности, и угол между этими касательными равен 56°.

2. Свойства касательных: Известно, что касательные, проведенные к окружности из одной точки, имеют одинаковую длину и образуют с радиусом окружности прямой угол. То есть $OA \perp PA$ и $OB \perp PB$, где $P$ — точка пересечения касательных.

3. Угол между касательными: Угол между касательными, то есть угол $\angle APB$, равен 56° (дано в условии задачи).

4. Исследуем угол $\angle OAB$: Из геометрии окружности известно, что угол между двумя касательными к окружности из внешней точки равен половине угла между радиусами, проведенными к точкам касания этих касательных. То есть:

   $$\angle AOB = 2 \times \angle APB = 2 \times 56^\circ = 112^\circ$$

   Это угол между радиусами $OA$ и $OB$.

5. Теперь находим угол $\angle ABO$: У нас есть треугольник $OAB$, в котором угол $\angle AOB = 112^\circ$. Сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, углы $\angle OAB$ и $\angle ABO$ должны удовлетворять следующему уравнению:

   $$\angle OAB + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ$$

   Подставим известные значения:

   $$\angle OAB + \angle ABO + 112^\circ = 180^\circ$$ $$\angle OAB + \angle ABO = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$$

   Поскольку треугольник $OAB$ — это равнобедренный треугольник (так как $OA = OB$), то углы $\angle OAB$ и $\angle ABO$ равны между собой. Следовательно:

   $$\angle ABO = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$$

Ответ: угол $\angle ABO = 34^\circ$.