Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен \( \frac{2\sqrt{10}}{7} \). Найдите меньшее основание.

Для решения задачи воспользуемся геометрией равнобедренной трапеции. Обозначим:

• $a$ — большее основание трапеции (оно равно 34),

• $b$ — меньшее основание, которое нужно найти,

• $h$ — высота трапеции,

• $l$ — боковая сторона трапеции (она равна 14),

• угол между боковой стороной и основанием $\alpha$, синус которого равен $\frac{2\sqrt{10}}{7}$.

Шаг 1. Найдем высоту трапеции

Сначала воспользуемся тем, что синус острого угла $\alpha$ равен $\frac{2\sqrt{10}}{7}$. Это означает, что синус угла между боковой стороной и горизонтальной осью трапеции равен $\frac{2\sqrt{10}}{7}$.

В прямоугольном треугольнике, в котором гипотенуза — это боковая сторона $l = 14$, а один из катетов — высота трапеции $h$, можно записать следующее соотношение:

Подставим известные значения:

Отсюда найдем $h$:

Шаг 2. Найдем горизонтальное расстояние между основаниями

Так как трапеция равнобедренная, то разность между большими и меньшими основаниями делится пополам на два равных отрезка, которые лежат по бокам высоты трапеции. Обозначим этот отрезок как $x$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 14 и высотой $h = 4\sqrt{10}$ по теореме Пифагора мы можем найти значение $x$:

Подставим известные значения:

Шаг 3. Найдем меньшее основание

Теперь, зная, что разница между основаниями делится пополам, можем найти меньшее основание. Большое основание равно 34, а разница между основаниями — это удвоенное значение $x$, то есть 12. Тогда меньшее основание $b$ равно:

Ответ: меньшее основание трапеции равно 22.