Треугольники $КМО$ и $НСО$ подобны, так как отрезки $КМ$ и $НС$ параллельны, а отрезки $КС$ и $МН$ пересекаются в точке $О$. В подобии треугольников важным является соответствие углов. Поскольку угол $КМО = угол НСО$, а также угол $МКО = угол НСО$, то эти треугольники подобны по второму признаку подобия (по углу между двумя сторонами).

Теперь, по теореме о пропорциональности сторон подобного треугольника, мы можем записать пропорцию:

$$\frac{КМ}{КС} = \frac{МО}{НС}.$$

Подставляем известные значения:

$$\frac{КМ}{10} = \frac{20}{15}.$$

Решив эту пропорцию, найдем $КМ$:

$$КМ = \frac{10 \cdot 20}{15} = \frac{200}{15} \approx 13,33 \, \text{см}.$$

Таким образом, длина отрезка $КМ$ примерно равна $13,33$ см.

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

У нас есть два отрезка: $КМ$ и $НС$, которые параллельны друг другу, и точки пересечения $КС$ и $МН$ образуют два треугольника — $КМО$ и $НСО$. Необходимо доказать, что эти треугольники подобны, а затем найти длину отрезка $КМ$.

Шаг 1: Доказательство подобия треугольников

1. Параллельность отрезков: Согласно условию, отрезки $КМ$ и $НС$ параллельны. Это значит, что прямые, на которых они лежат, также параллельны.

2. Теорема о подобии треугольников: Для того чтобы два треугольника были подобными, достаточно, чтобы в них были равны:

   • один угол, и
   • два пропорциональных отрезка.

3. Общий угол: В треугольниках $КМО$ и $НСО$ угол $КМО$ равен углу $НСО$ (это вертикальные углы, которые всегда равны). Таким образом, угол $КМО = \angle НСО$.

4. Пропорциональность сторон: Так как отрезки $КМ$ и $НС$ параллельны, отрезки $КС$ и $МН$ пересекают их, создавая пропорциональные отрезки на этих двух прямых. Это означает, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. То есть:

   $$\frac{КМ}{НС} = \frac{МО}{СО}.$$

Итак, с учетом того, что углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, мы можем заключить, что треугольники $КМО$ и $НСО$ подобны.

Шаг 2: Нахождение длины отрезка $КМ$

Теперь, когда мы доказали, что треугольники подобны, используем свойства подобных треугольников для нахождения неизвестной длины.

Из пропорциональности сторон мы имеем:

Подставляем известные данные:

• $КМ = x$ (неизвестно),
• $НС = 15$ см,
• $МО = 20$ см,
• $СО = 10$ см (так как $КМ = 10$ см по условиям задачи).

Теперь составим пропорцию:

Преобразуем:

Умножим обе стороны на 15:

Ответ: длина отрезка $КМ$ равна $30$ см.