Как могут располагаться прямая и плоскость в пространстве?

Классических случаев всего три (перпендикулярность — частный вариант одного из них):

1. Прямая лежит в плоскости.
   Это значит, что каждая точка прямой — точка плоскости. Аналитически: если плоскость задана уравнением $ax+by+cz+d=0$, а прямая — параметрически $\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}$, то выполняются два условия:

   • направляющий вектор $\mathbf{v}$ параллелен плоскости, т.е. $\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0$ (где $\mathbf{n}=(a,b,c)$ — нормаль к плоскости);

   • начальная точка $\mathbf{r}_0$ лежит в плоскости: $a x_0+b y_0+c z_0+d=0$.

2. Прямая пересекает плоскость в одной точке.
   Это общий случай: направляющий вектор «наклонён» к плоскости, и прямая протыкает её. Аналитически $\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}\neq 0$. Точка пересечения находится из

   $$a(x_0+t v_x)+b(y_0+t v_y)+c(z_0+t v_z)+d=0 \;\Rightarrow\; t=-\frac{a x_0+b y_0+c z_0+d}{a v_x+b v_y+c v_z}.$$

   Перпендикулярность к плоскости — частный случай этого пункта: если $\mathbf{v}\parallel \mathbf{n}$, то прямая пересекает плоскость под прямым углом (и, разумеется, в одной точке).

3. Прямая параллельна плоскости и не имеет с ней общих точек.
   Условия: $\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0$ (вектор направления лежит в направлении плоскости), но начальная точка не принадлежит плоскости: $a x_0+b y_0+c z_0+d\neq 0$. В этом случае расстояние от прямой до плоскости постоянно и равно расстоянию от любой её точки до плоскости:

   $$\rho=\frac{|a x_0+b y_0+c z_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$

Важно не путать: «скрещиваться» могут только две прямые в пространстве; для «прямая–плоскость» других взаимных положений, кроме трёх перечисленных, нет.