Определить полную поверхность правильной треугольной пирамиды, если её высота равна 8 дм, а апофема равна 10 дм.

Полная поверхность $S_{\text{полн}}$ регулярной треугольной пирамиды — это сумма площади основания и трёх равных боковых граней.

Дано: высота пирамиды $h=8$ дм, апофема (высота боковой грани к середине ребра основания) $l=10$ дм.

1. В правильной пирамиде $l^2=h^2+r^2$, где $r$ — апофема основания (радиус вписанной окружности в основание).

2. Основание — равносторонний треугольник со стороной $a$. Для него $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$, значит

3. Площадь основания:

4. Площадь одной боковой грани — $\dfrac12 a l$, всего граней три:

5. Полная поверхность:

Ответ: $288\sqrt{3}\ \text{дм}^2$.