Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см , а ее апофема образует угол 45 градусов Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нужно учитывать несколько факторов. Разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

• Высота пирамиды $h = 4$ см.
• Апофема пирамиды $\text{a}$ образует угол 45° с высотой пирамиды.

Шаг 1: Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле:

где:

• $P_{\text{осн.}}$ — площадь основания пирамиды,
• $l$ — апофема пирамиды.

Для правильной четырехугольной пирамиды основание — это квадрат, и его площадь равна:

где $a$ — длина ребра основания (стороны квадрата).

Следовательно, площадь боковой поверхности будет равна:

Шаг 2: Найдем длину апофемы $l$

Апофема пирамиды $l$ образует угол 45° с высотой пирамиды. Этот угол можно использовать для нахождения апофемы с помощью тригонометрии.

Предположим, что $h$ — это высота пирамиды, а $\frac{a}{2}$ — это половина длины стороны квадрата основания. Треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания и апофемой, является прямоугольным.

По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

Из этого следует, что:

Шаг 3: Найдем апофему $l$

Теперь, зная, что $a = 8$ см, мы можем найти длину апофемы. В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это апофема, один катет — это высота пирамиды, а второй катет — это половина стороны основания, используем теорему Пифагора:

Подставляем значения:

следовательно:

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, можем найти площадь боковой поверхности:

Вычисляем:

Ответ:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет примерно 181.02 см².