Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды

Для решения задачи найдем объем правильной треугольной пирамиды, исходя из данных: апофема равна $4 \, \text{см}$, а двугранный угол при основании равен $60^\circ$.

1. Понимание задачи

• Апофема пирамиды — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к её середине.
• Двугранный угол при основании — это угол между двумя боковыми гранями, пересекающимися по ребру пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

где:

• $S_{\text{осн}}$ — площадь основания,
• $h$ — высота пирамиды.

2. Вывод параметров пирамиды

Основание пирамиды — правильный треугольник, поэтому его стороны равны между собой. Обозначим сторону основания за $a$, а высоту пирамиды за $h$.

Связь апофемы с высотой пирамиды

Апофема $a_{\text{пофема}}$ связана с высотой пирамиды $h$ и радиусом описанной окружности основания (равным $\frac{a}{\sqrt{3}}$) через теорему Пифагора. Она равна:

Подставим $a_{\text{пофема}} = 4$:

Квадрат обеих частей:

(1) $h^2 = 16 - \frac{a^2}{3}.$

Связь двугранного угла с высотой

Двугранный угол при основании равен $60^\circ$. Для правильной пирамиды:

Поскольку $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$:

Упростим:

(2) $h = \frac{a}{\sqrt{3}}.$

3. Найдем сторону основания $a$

Подставим (2) в (1):

Раскроем скобки:

Приведем к общему знаменателю: