Точка на гипотенузе, равноудалённая от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40

Ответы на вопрос

Отвечает Фоскин Артём.

Для решения этой задачи будем использовать теорему Пифагора и геометрические свойства треугольника.

Пусть треугольник прямоугольный, его катеты равны $a$ и $b$ , а гипотенуза — $c$ . Точка $P$ на гипотенузе делит её на два отрезка длиной 30 см и 40 см. Она равноудалена от обоих катетов, значит, расстояния от этой точки до катетов одинаковы. Это свойство использует так называемую теорему о точке, равноудалённой от сторон прямоугольного треугольника.
Согласно этой теореме, точка на гипотенузе, равноудалённая от катетов, делит гипотенузу в отношении длин катетов. То есть длина одного отрезка гипотенузы (30 см) относится к длине другого отрезка гипотенузы (40 см) как длины катетов $a$ и $b$ . Таким образом, можно записать пропорцию:

\frac{a}{b} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}.

Это значит, что $a = \frac{3}{4}b$ .

Теперь применим теорему Пифагора. Согласно ей, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a^2 + b^2 = c^2.

Где $c$ — длина гипотенузы, которая равна $30 + 40 = 70$ см.

Подставим $a = \frac{3}{4}b$ в уравнение Пифагора:

\left(\frac{3}{4}b\right)^2 + b^2 = 70^2.

Упростим выражение:

\frac{9}{16}b^2 + b^2 = 4900.

Приведём подобные:

\frac{9}{16}b^2 + \frac{16}{16}b^2 = 4900,

\frac{25}{16}b^2 = 4900.

Умножим обе части на 16:

25b^2 = 4900 \times 16,

25b^2 = 78400.

Разделим на 25:

b^2 = \frac{78400}{25} = 3136,

b = \sqrt{3136} = 56 \text{ см}.

a = \frac{3}{4}b = \frac{3}{4} \times 56 = 42 \text{ см}.

Таким образом, длины катетов равны 42 см и 56 см.

Точка на гипотенузе, равноудалённая от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найти длины катетов.