Около окружности описан правильный треугольник со стороной 18см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность

Чтобы найти сторону квадрата, вписанного в окружность, вокруг которой описан правильный треугольник, нужно следовать следующим шагам:

1. Найдем радиус окружности, описанной около правильного треугольника.

   Для правильного треугольника известно, что радиус окружности, описанной вокруг него, можно вычислить по формуле:

   $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

   где $a$ — сторона треугольника, а $R$ — радиус описанной окружности.

   В нашем случае, $a = 18$ см, тогда:

   $$R = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18 \cdot \sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \, \text{см}$$

2. Найдем сторону квадрата, вписанного в окружность.

   Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна длине диагонали квадрата, которая совпадает с диаметром окружности. Диаметр окружности $D = 2R$, а диагональ квадрата связана со стороной квадрата $x$ по формуле:

   $$D = x\sqrt{2}$$

   Подставим значение диаметра $D = 2R = 12\sqrt{3}$ см:

   $$12\sqrt{3} = x\sqrt{2}$$

   Найдем сторону квадрата $x$:

   $$x = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 6\sqrt{6} \, \text{см}$$

Таким образом, сторона квадрата, вписанного в окружность, равна $6\sqrt{6}$ см.